発見!?

僕は、中学３年の男子です。数学に関する疑問があってお問い合わせしました。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　それは、分数と小数のことです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学校では、６×１/３＝２と教わりました。しかし、１/３を小数に直すと、０．３３３３３３３３３３３３３３．.......と続きます。これをもう一度式になおすと、６×０．３３３３３３３３３３３..... 　＝１．９９９９９９９.....９９９８となりぴったり２にはなりません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　このことを友人数名と悩んでしまっています。どうか教えてください。

中3の男子君、素晴らしい質問をありがとうございます。
6X1/3=2なのに、これを小数に直すと、6X0.333333...=1.999999...となり納得出来ない。
確かにっ。

もっとシンプルに
1/3=0.3333....　の両辺を3倍すると　1=0.99999....　となり、これも納得出来ない ということになります。
中3生なのでルートを例にして説明してみましょう。

√2 X √2 = 2　は納得ですね。
これを無理に小数に直して書いてみると、1.41421356X1.41421356=1.999999993287874
ぴったり2になりませんが、ならない理由はどうしてか分かるんじゃないでしょうか。そう、√２が1.41421356（ひとよひとよにひとみごろ）というのは近似値であって、実際にはどこまでも続く数だということを知っているからです。
途中で止めてしまった値どうしをかけても、正確に2にはならないというのが、この例では良くわかります。

初めの質問にもどるとどうでしょうか。
6X1/3を 6X0.3333...とした時点でやや問題があると思いませんか。たしかにそう書くしか方法がないのですが、0.3333...というのはどこまでも続く。途中では決して終わらないはずですね。
計算した結果、1.9999...というのも途中では絶対に終わらない。誰がなんと言ってもどこまでも続く。どこまでも続いても2よりちょっと小さいんじゃないかと思ってしまうのですが、そう思ったということはどこかで9999...と続けるのを止めたからそう思うんです!
ちょっと小さい、そう思った瞬間にもその先へどんどん9が続いている.... 想像してください。「限りなく」2に近づいて行きますね。「限りなく2に近づいて行く」ということが納得出来ればもう少しです。どんどん2との差は小さくなっていくのですが、それがどこまでも続くので続いたそのさきの最後には2になりますね。「限りなく」続けたその結果なのだから最後は（最後なんてないのだけれども想像してください）2にいつかは等しくなると考えるのです。
「いつかは」と考えるといつまで経ってもダメと思ってしまう人は、限りなく続けたその結果が存在するはず!と思ってみてください。

※点や直線の定義を知っていますね。点は面積を持たない点。直線は太さを伴わない左右無限に広がる線。あり得ないけど想像する事は容易に出来ますね。1.9999.....9をどこまでも続けたその結果,それが2に等しくなる というのは点や直線を直観で感じることに似ているかもしれません!

心情的に無理がありますね。無限に続くというのは常識を超えた先の話ですから。
実は私も良くわかってないし、感情的には今ひとつ合点がいかないのが本心です(^^;)

無限の話は高校で少し、大学で数学を専門に学べば必ず通る道です。