中学数学の疑問にこたえるBLOG

★質問
食塩水の濃度の問題が苦手です。コツはありますか？

●答え
コツというよりも、濃度が何なのかをちゃんと理解すれば何も難しくないんです。
濃度の基本部分について授業した1コマからどーぞ。

★質問
8%の食塩水100gと3%の食塩水100gを混ぜると何%の食塩水が出来るか
という問題で、11%の食塩水が200g出来ると答えてはいけないのはなぜですか。

●答え
3%の食塩水の立場になってください(^^)
それに8%のより濃い食塩水が混ざったら、3%よりは濃い食塩水が出来上がることが予想されますね。
今度は8%の食塩水の立場になってください。
3%のより薄い食塩水が混ざったら、8%より薄い食塩水が出来上がりますよね。

以上のことから、きっと3%と8%の間の濃度になることが予想されるんだけど、わかる？
で...

★質問
中学になって文字を使うようになったのですが、なぜ「数学」なのに数字ではなく文字を使うのですか。よけい分かりにくいです。
●答え
初めて文字を習うときは誰でもそう感じます。でもしだいに便利なんだということに気づきます。 それが数学を勉強して得られる成果の一つなんだよ。君らのこれからの生活にも実際に役立つんだ。 文字で表すと、どういう計算をしたのかが分かる、繰り返し同じ計算をするときに楽に計算できる...などが分かってくるんだょ。
例えば...

●答え
3回目はルートのかけ算と足し算だ。
ルート2×ルート3はルート6、　ルート2＋ルート3はルート5

どちらも正しそうだが、どちらかが間違っている。どっちだか分かる？
かけ算の方は正しく、足し算の方は間違っているんだ。なぜ？

「そう教わったから」って答えたくなるだろうけど、そうじゃなくて今までの知識だけを使って考えればわかるんだよ。
そういう力をつけることが数学の基本が分かってるってことなんだぜぃ。

★質問
連立方程式の応用問題で、道のり-速さ-時間の問題がなかなかうまくできません。
コツを教えてください。

●答え
コツというよりもだねぇ、まず道のり、速さ、時間の関係がきちんと分かっているかが大事なんだよ。
うまく出来ない人はそれがよく分かっていない可能性が高いなぁ。

＜速さ＞ってのは単位時間あたりに進む道のりのことです。単位時間というのは、1秒や1分、1時間などです。
だから例えば時速60kmと言えば、ちょうど1時間進んだときの道のりが60kmになる速さのことなんだよ。
だから...

大きな画面で見るには　→　◎速さ,道のり,時間の基本
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◎new! 　ポッドキャスティング開始。画像を見ることができるiPodで解説を！→　速さ,道のり,時間の基本
...というのが連立方程式の応用問題以前の基本事項でした。

さて、連立方程式の問題としては過去の書き込みを見てね。詳しく説明してます。

★質問
平方メートルを平方センチメートルに変えなさい　なんていう問題がよくわかりません。

●答え
例えば、をに変えるという問題を考えてみよう。

大きな画面で見るには　→　◎単位の換算の基本
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★質問
ルートの計算の続きを教えてください。

●答え
次は、分母の有理化だよ。分数で分母にルートがついていたらそのルートを外すんです。

分母のルート3のルートを外すために、分母にルート3をかけます。分母にルート3をかけたので、分子にもルート3をかけます。

分母が無理数（ルートのつく数）から有理数（ルートのつかない数）になったので、この操作を分母の有理化と言います。

これからは分母にルートがついていたら、ちょっと気持ち悪いと思って、分母の有理化をしてね。

なぜそんなことをするのかと言うと ...

大きな画面で見るには　→　◎分母の有理化をする理由
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◎new! 　ポッドキャスティング開始。画像を見ることができるiPodで解説を！→　分母の有理化をする理由

★質問
ルートの計算がよくわかりません。ポイントを教えてください。

●答え
まず、ルートの中の数をなるべく小さくすることができるようになろう。
例えて言えば、分数を約分するみたいな感覚です。4/6をそのままにしとくのは気持ちがわるいでしょ？
それと同じように2ルート12なんかもそのままでは気持ち悪いんだよ。すぐにルートの中の数を小さくできるようにしよう。ぜ。

大きな画面で見るには　→　◎ルートの中を簡単にする
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◎new! 　ポッドキャスティング開始。画像を見ることができるiPodで解説を！→　ルート(1)

★質問
絶対値って符号をとった数と教わりましたが、なぜそんなのが必要なんですか。

●答え
絶対値というのは、向き（方向）を取り去った長さだけを表す数のことです。
よしお君の家が駅から北東の方向に2km、美代ちゃんの家は駅から西に1.5kmとするとき、絶対値とは、向きは関係なく駅からどれだけ離れているかを表す数です。
この例では美代ちゃんちの方が駅から近いとか、よしお君ちの方が遠いということになりますが、方角はまったく関係ないですよね。
駅にどれだけ近いかってのが大事なときに絶対値が生きてくるわけです。
正負の数の絶対値も、プラスマイナスは置いといて、原点からどれだけ離れているのか（=長さ）ってことが大事なときに絶対値を使うのです。向きは無視してどれだけ離れてるのかってことに注目するとき使う数なのです。
絶対値は正の値１つの量しか持っていません。

「絶対」という言葉の対語は「相対」です。相対とは相手があるとき、それと比べてどうなのかを表すときに使います。
+6は+2に比べると+4だけ大きい（相対値）。-2は+6に比べると-8大きい（または+8小さい）というように、相対値とは相手の値と比べたとき(1)どちらの方向に（向き、または符号）(2)どれだけ大きいか（小さいか）の2つの情報を持っています。

まぁあんまり難しいこと言うとかえって分からなくなるので、今はプラスマイナスの数から符号を取り去った数だとおもってもいいです（オイオイ..）
高校になるとベクトルの絶対値とか複素数の絶対値ってのが出て来ますが、やっぱりこれも「長さ」のことなのです。

★質問
50円切手と80円切手をあわせて15枚買って...という問題で、x+y=15という式をつくるのと、一方をxとして他方を15-xとするのとどちらがいいのですか？

●答え
どっちでもいいです。こういう質問をするひとはよく分かっている人だね(^^
前者は連立方程式らしい解答になるし、後者は1次方程式の解答になる。
解いてみればわかるけれど、連立方程式も1文字消去してやると、後者とおなじ1次方程式になるよね。
どちらの方法でも出来て、それが同じ意味なんだということを理解することが大事だと思うよ！

★質問
　5の平方根とルート5は同じだと思うんですが、違うと言われました。なぜですか？

●答え
　5の平方根とは2乗（＝平方）して5になる数のことだよ。
「根」というのは「解」と同じ意味だから、2乗して5になるその解はなに？って言ってるんだ。だからプラスルート5とマイナスルート5の２つがあるんだよ。
ひとつ前にも書いたけれど、初めのうちは迷うよね。いままで答えが2つ出てくるものなんか無かったから当然そう感じるんだな。

「関数」というのは１つの数字に対して１つの答えしかないのだけど、方程式の解は2つ以上出てくるものを今後あつかっていくんだよ。まぁ慣れだ。
もう少ししたら、グラフで説明をするから、そうすればもっと深く理解できるよ。

aの平方根とは「2乗してaになる数」を表します。
9の平方根は3と-3の2つがあります。
0の平方根は0の1つだけ、-9の平方根は（2乗してマイナスになる数はないので）なしです。

正の数の平方根には、上で話したように正と負の2つがあります。
だから3の平方根と√3は同じとは言えません。←3の平方根は√3と-√3の2つがあるからです。
このあたり間違えやすいんですね。