中学数学の疑問にこたえるBLOG

こんな質問ありました。

  の整数部分が2であるとき、これを満たすxを全て求めよ。

「整数部分」の意味は分かるのですが、どのようにしたらいいのか分かりません。 

ルートの応用問題ですね。
はい。分かりました。解説はこちらです。

連立方程式にそろそろ入ってきましたね。解き方は２つあって（消去法、代入法）初めは混乱するかもしれませんが、すぐに慣れます。うまくいかなくて悩んでいる人は練習不足が原因です。やるしかない！

結局解ければどっちで解いてもいいのです。２つの未知数がある２元連立方程式は、とにかくどちらかの１文字を消して普通の１次方程式にしてしまえばいいんですから。

さて、連立方程式を機械的に解くのは上に書いたように、誰にでも出来るようになるんですが、連立方程式の解法を知らなくても力ずくで解く根性とあれこれやってみる精神が小中学生にはとっても必要だと思うんです。あれこれ考えること自体が算数・数学だ！

ツルが何羽か、カメが何匹かいます。両方の頭の数の合計は16個、足の数の合計は42本です。 さて、ツルは何羽、カメは何匹いるか。 

解答例・解説はこちら

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中1の1次方程式、中2の連立方程式、中3の2次方程式の問題の中で、割合、割り増し、割引は必ず出てきます。方程式の解き方が分かっても、割合のキホンが出来てないからつまづく生徒がとっても多いです。んでその事にお母さんお父さんは気づいてません。もっと自分の子供を見てください。分かってない事に驚きますよ！

オンライン数学塾の会議室に、割合、割り増し、割り引きを少しずつ解説する書き込みを始めました。
見てね。

中１のみなさん。
速さ、道のり（距離）、時間を求める計算できますか？　普通できるのが当たり前なんですが、「みはじ、きはじ、木の下のハゲおやじ」とかで覚えてますよね。それで結構！
覚えてない人、覚えているけどなぜそうするのか分からないから、知っておきたいという偉いキミ！

オンライン数学塾の会議室に文章での説明を書いておいたので、参考にしてください。基本の基本ですが自信の無い人は見ておくといいよ！

中３生のルートの問題の応用でこんな問題が出されます。力ずくで代入してももちろん出来ますが、それではあんまり頭良くないとか言われちゃいますが、この程度なら代入したっていいじゃないかっ！

★問題

のとき、 の値を求めなさい。

でもまぁちょっと話すべきことはあるわけです。解説はこちら。
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昨日の書き込みでは、小学校の算数が分かってないとまずいんだよ、ということを言いたかったのですが、言っただけではダメなので今日から小学校の算数復習シリーズを始めます。もちろん中学生向けですから数学の文字式を使った説明をしてみます。

はじめは食塩水の濃度計算問題から。以前にアップしたものですがここに新たに掲載しておきます。
（１）濃度の定義　（２）溶けている食塩の量
この２つを等式の変形を用いて理解します。解説はこちらからどうぞ。
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19日にも書きましたが、基本の基本が出来ていない中学生が多いんです。
中１生はもとより、出来ると思っている中２、中３生できますか？

次の数量を文字式で表しなさい。

(1) 分速a mで10kmの道のりを走るときにかかる時間
(2) x%の食塩水 bg（bグラム）の中に含まれる食塩の重さ
(3) 定価A円のゲームをy%引きで買ったときの値段
(4) 40人のクラスでテストをしたときの平均点がa点、男子22人の平均点がb点だったときの女子の平均点

いつもこのブログを見てくださっている中3生のために、オンライン数学塾の授業の中で、中間テストに役立ちそうなルートの計算（四則混合）の練習問題とその解説を少し長めにアップしました。

オンライン数学塾のサイトへ行って、ダウンロードページからご覧ください。
自分で解いてから見ると、かなり力がつくはずです。

大事なのは

（１）ルートの中をカンタンに。

（２）分母の有理化！

の２つだけ。

では、アラン先生のルートの四則計算の問題と解説はこちら（なお再生は6月30日までの期限ありです）。

中2生は中間テストが終われば、次は連立方程式ですね。
塾ではいきなり代入法とか消去法とか解法の説明をするのが普通だと思うのですが、その前に何も教えずにいわゆる鶴亀算を自力で解かせてみることが必要です。公立の小学校、中学校の生徒は鶴亀算なんてモノは知らない生徒がほとんどですが、知っている必要はありません。

ああだこうだといろいろ泥臭くてスマートでない解き方でいいから、工夫することが大事です。そのとき中学受験生に教えるように、「もし全部がカメだったら？」なんていう不自然な発想はさせません。もっと自然に... 。

数学が苦手な生徒は、先生が教えてくれた解法だけを覚えて、本来必要であるはずの頭を働かせることをせずに終わってしまいます。つまり「連立方程式」＝消去法、代入法って四角四面に教えちゃうから、使えない頭が育っちゃうんです。
整数解の連立方程式なんて、算数的思考で考えられないと使い物にならない頭になってしまうと思うんです。

紙と鉛筆と手と足と必要に応じて道具を使って算数数学を考えさせることが大事です。野山で自然と道具をうまく使って生きて行く知恵に通じるものがそこにあると私は思います。

そうやっていろいろ苦労があること知った後で、方程式の考え方を示してみせれば、数学の解法自体に感動も覚え、一生忘れない知的な財産にもなると思うわけです。
街の塾を快く思わない人はそんなことが言いたいのではないでしょうか。

毎年この時期がやってきます。中1の文字式を学ぶところで、「数量の表し方」っていうのをやります。近所の塾で教えながら毎度カツを入れます。

例えば、1個a円のケーキを5個買って1000円出したときのおつりを文字式で表せ　とか、
毎時4km速さで、a時間歩いたときの道のりを文字式で表せ　とか、
定価y円の品物を20%引きで買ったときの値段を文字式で表せ　とかです。

いきなり文字式で表すのは難しいので、まずは具体的な数字を文字のところに入れてやっていきますが、そこで半分くらいの生徒が上の計算すぐに出来ません。
心の中で「お前ら小学生のときに何教わってきたんだっ！」と15年前は怒鳴っていましたが、もうとっくに慣れました 。

３学期制の中学校は中間テストの時期ですね。２期制だともう少しあとですが、２期制の人もついでに勉強しちゃうのがいいですね。街の塾では土日などにテスト対策の授業をしますから、そのときついでに参加しちゃうのがいいでしょう（たいがい無料ですから使わない手は無い）。

どの学年も今度のテストは、式の計算ですね。ここでしっかりやっておく事が大事で、これが出来ないと、このあとどの学年も苦労します。特に中３生は因数分解。因数分解は数学の道具ですから。

因数分解を何のためにやってるのか？なんていう疑問も出てくる人も居ると思います。いろいろな答えがあるのですが、それはまたいずれ。

さて今日の夜中にでも体調復活する予定ですのでまた解説をアップします。

先生、分母の有理化ってなぜやるんですか？　めんどくさいんですけど。 

それはね、小学校のとき仮分数を帯分数にすることを教わったよね（最近は教わらない生徒がいるらしい。ショック！） それと良く似ているんだよ。

今日はアラン先生は風邪で調子が悪いので、文章で説明してみるね。